题目内容
【题目】如图，在四棱锥
中，侧棱
底面
，
，
，
，
是棱
的中点.
（1）求证：
平面
；
（2）若
，点
是线段
上一点，且
，求直线
与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】
（1）
的中点
，连接
，
，证明四边形
是平行四边形可得
，故而
平面
；
（2）以
为原点建立空间坐标系，求出平面的法向量
，计算
与的夹角的余弦值得出答案．
（1）证明：取的中点，连接，，
，分别是
，的中点，
，
，
又
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
又
平面，
平面，
平面．
（2）解：
，
，
又，故
，
以为原点，以
，
，
为坐标轴建立空间直角坐标系
，
则
，0，
，
，0，，
，2，，
，0，
，
，2，，
是的中点，
是
的三等分点，
，1，
，
，
，，
，
，
，
，0，
，
，2，，
设平面的法向量为
，
，
，则
，即
，
令
可得
，
，，
，
，
直线
与平面所成角的正弦值为．
名校联盟快乐课堂系列答案
【题目】在综合素质评价的某个维度的测评中，依据评分细则，学生之间相互打分，最终将所有的数据合成一个分数，满分100分，按照大于或等于80分的为优秀，小于80分的为合格，为了解学生的在该维度的测评结果，在毕业班中随机抽出一个班的数据.该班共有60名学生，得到如下的列联表：
优秀 | 合格 | 总计 | |
男生 | 6 | ||
女生 | 18 | ||
合计 | 60 |
已知在该班随机抽取1人测评结果为优秀的概率为
.
（1）完成上面的列联表；
（2）能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为性别与测评结果有关系？
（3）现在如果想了解全校学生在该维度的表现情况，采取简单随机抽样方式在全校学生中抽取少数一部分来分析，请你选择一个合适的抽样方法，并解释理由.
附：
| 0.25 | 0.10 | 0.025 |
| 1.323 | 2.706 | 5.024 |
【题目】某省从2021年开始将全面推行新高考制度，新高考“
”中的“2”要求考生从政治、化学、生物、地理四门中选两科，按照等级赋分计入高考成绩，等级赋分规则如下：从2021年夏季高考开始，高考政治、化学、生物、地理四门等级考试科目的考生原始成绩从高到低划分为
五个等级，确定各等级人数所占比例分别为
，
，，
，
，等级考试科目成绩计入考生总成绩时，将
至
等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法分别转换到
、
、
、
、
五个分数区间，得到考生的等级分，等级转换分满分为100分.具体转换分数区间如下表：
等级 |
|
|
|
|
|
比例 |
|
|
|
|
|
赋分区间 |
|
|
|
|
|
而等比例转换法是通过公式计算：
其中
，
分别表示原始分区间的最低分和最高分，
、
分别表示等级分区间的最低分和最高分，
表示原始分，
表示转换分，当原始分为，时，等级分分别为、
假设小南的化学考试成绩信息如下表：
考生科目 | 考试成绩 | 成绩等级 | 原始分区间 | 等级分区间 |
化学 | 75分 |
|
|
|
设小南转换后的等级成绩为，根据公式得：
，
所以
（四舍五入取整），小南最终化学成绩为77分.
已知某年级学生有100人选了化学，以半期考试成绩为原始成绩转换本年级的化学等级成绩，其中化学成绩获得等级的学生原始成绩统计如下表：
成绩 | 95 | 93 | 91 | 90 | 88 | 87 | 85 |
人数 | 1 | 2 | 3 | 2 | 3 | 2 | 2 |
（1）从化学成绩获得等级的学生中任取2名，求恰好有1名同学的等级成绩不小于96分的概率；
（2）从化学成绩获得等级的学生中任取5名，设5名学生中等级成绩不小于96分人数为
，求的分布列和期望.