题目内容
【题目】如图，在三棱锥
中，
，
，侧面
为等边三角形，侧棱
.
（1）求证：平面
平面
；
（2）求三棱锥外接球的体积.
【答案】（1）见解析；（2）
.
【解析】
（1）设
中点为
，连接
、
，利用等腰三角形三线合一的性质得出
，利用勾股定理得出
，由线面垂直的判定定理可证得
平面
，再利用面面垂直的判定定理可得出平面
平面；
（2）先确定三棱锥
的外接球球心
的位置，利用三角形相似求出外接球的半径，再由球体的体积公式可求得结果.
（1）设中点为，连接、， 因为
，所以.
又
，所以
，
又由已知
，
，则
，所以
，.
又
为正三角形，且，所以
，
因为
，所以
，
，
，
平面，
又
平面
，
平面平面；
（2）由于是底面直角三角形的斜边的中点，所以点是
的外心，
由（1）知平面，所以三棱锥的外接球的球心在上.
在
中，
的垂直平分线与的交点即为球心，
记的中点为点
，则
.
由
与相似可得
，
所以
.
所以三棱锥外接球的体积为
.
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【题目】为了解高中生作文成绩与课外阅读量之间的关系，某研究机构随机抽取了100名高中生，根据问卷调查，得到以下数据：
作文成绩优秀 | 作文成绩一般 | 总计 | |
课外阅读量较大 | 35 | 20 | 55 |
课外阅读量一般 | 15 | 30 | 45 |
总计 | 50 | 50 | 100 |
（1）根据列联表，能否有99.5%的把握认为课外阅读量的大小与作文成绩优秀有关；
（2）若用分层抽样的方式从课外阅读量一般的高中生中选取了6名高中生，再从这6名高中生中随机选取2名进行面谈，求面谈的高中生中至少有1名作文成绩优秀的概率．
附：
，其中
．
| 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
