Question

已知函数y=f（x）=ln（kx+

1

x

），（k＞0）在x=1处取得极小值．
（1）求k的值；
（2）若f（x）在（

1

2

，f（

1

2

））处的切线方程式为y=g（x），求证当x＞0时，曲线y=f（x）不可能在直线y=g（x）的下方．

Answer 1

分析：（1）对函数求导，由已知得f′(1)=

k-1

k+1

=0⇒k=1；
（2）由（1）知f′(x)=

x2-1

x(x2+1)

，则k=f′(

1

2

)=-

6

5

，即可得到y=f（x）在(

1

2

，ln

5

2

)的切线方程，
将问题转化为f（x）≥g（x）在（0，+∞）恒成立，
令?(x)=f(x)-g(x)=ln(x+

1

x

)+

6

5

x-

3

5

-ln

5

2

，求出?(x)min=?(

1

2

)=0，故?（x）≥0即f（x）≥g（x）在（0，+∞）恒成立，得证．

解答：解：（1）f′(x)=

kx2-1

x(kx2+1)

，
由已知得f′(1)=

k-1

k+1

=0⇒k=1．…（3分）
（2）当k=1时f′(x)=

x2-1

x(x2+1)

，
此时y=f（x）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增…（5分）
由于f′(x)=

x2-1

x(x2+1)

，k=f′(

1

2

)=-

6

5

，
则y=f（x）在(

1

2

，ln

5

2

)的切线方程为y-ln

5

2

=-

6

5

(x-

1

2

)，即y=g(x)=-

6

5

x+

3

5

+ln

5

2

…（8分）
当x＞0时，曲线y=f（x）不可能在直线y=g（x）的下方?f（x）≥g（x）在（0，+∞）恒成立，
令?(x)=f(x)-g(x)=ln(x+

1

x

)+

6

5

x-

3

5

-ln

5

2

，?′(x)=

(x- 1 2 )(6x2+8x+10)

5(x3+x)

当x∈(0，

1

2

)，?′(x)＜0，x∈(

1

2

，+∞)，?′(x)＞0，?(x)min=?(

1

2

)=0，
即?（x）≥0即f（x）≥g（x）在（0，+∞）恒成立，
所以当x＞0时，曲线y=f（x）不可能在直线y=g（x）的下方…（13分）

点评：本题考查函数导函数的应用，主要是求最值问题，本题解题的关键是对于不等式成立，只要用函数的最值来整理就使得问题解题的方向非常明确．