Question

设函数
（I）求的单调区间；
（II）若函数无零点，求实数的取值范围.

Answer 1

（I）当时，，单调递增；当时，若，，单调递增；若，，单调递减；
（Ⅱ）实数的取值范围是

本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用，求解函数 单调区间和函数的零点的概念的综合运用。
（1）先求解定义域然后求解导数，分析导数的符号，得到单调区间，注意对于参数a的分类讨论。
（2）根据第一问的结论可知当a在不同范围的时候，可以判定函数单调性，进而确定是否有零点的问题。解：因为 函数的定义域为，
且，
（I）当时，，单调递增；…………3分
当时，若，，单调递增；
若，，单调递减；…………………………6分
（Ⅱ）①由（I）知当时，在上单调递增
又
函数在区间上有唯一零点…………………………8分
②当时，有唯一零点…………………………9分
③当时，在上是增函数；在上是减函数；
故在区间上，有极大值为…………………11分
由，即，解得：……………………………13分
故所求实数的取值范围是