Question

4．求椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$被直线x+3y+1=0所截得的弦长．

Answer 1

分析 将直线x+3y+1=0代入椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$的方程，得出关于x的二次方程，利用根与系数的关系结合弦长公式，从而可求弦长．

解答 解：将直线x+3y+1=0即y=$-\frac{1}{3}$（x+1）代入椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$的方程，整理得11x²+4x-34=0
设直线与椭圆的交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
∴x₁+x₂=-$\frac{4}{11}$，x₁x₂=-$\frac{34}{11}$．
∴椭圆被直线截得的弦长为AB=$\sqrt{1+（{-\frac{1}{3}）}^{2}}$×|x₁-x₂|=$\frac{\sqrt{10}}{3}$×$\sqrt{（-\frac{4}{11}）^{2}+4×\frac{34}{11}}$=$\frac{2\sqrt{382}}{11}$．
故答案为：$\frac{2\sqrt{382}}{11}$．

点评 本题以直线与椭圆为载体，考查直线与椭圆的位置关系，考查弦长公式，考查方程思想．