Question

13．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦距为2，其两个焦点与短轴的一个顶点是正三角形的三个顶点．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）动点P在椭圆C上，直线l：x=4与x轴交于点N，PM⊥l于点M（M，N不重合），试问在x轴上是否存在定点T，使得∠PTN的平分线过PM中点，如果存在，求定点T的坐标；如果不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可得c=1，再由正三角形的高与边长的关系，可得b=$\sqrt{3}$，进而得到a，即可得到椭圆方程；
（Ⅱ）假设存在点T，使得∠PTN的平分线过PM中点．设P（x₀，y₀），T（t，0），PM中点为S．由角平分线的定义和平行线的性质，再由两点的距离公式和P满足椭圆方程，化简整理，即可得到定点T．

解答 解：（Ⅰ）由椭圆C的焦距2c=2，解得c=1，
因为两个焦点与短轴的一个顶点构成正三角形，
所以b=$\sqrt{3}$c=$\sqrt{3}$，a=$\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}}$=2，
所以椭圆C的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；                        
（Ⅱ）假设存在点T，使得∠PTN的平分线过PM中点．
设P（x₀，y₀），T（t，0），PM中点为S．
因为PM⊥l于点M（M，N不重合），且∠PTN的平分线过S，
所以∠PTS=∠STN=∠PST．
又因为S为PM的中点，
所以|PT|=|PS|=$\frac{1}{2}$|PM|．
即$\sqrt{（{x}_{0}-t）^{2}+（{y}_{0}-0）^{2}}$=$\frac{1}{2}$|x₀-4|．
因为点P在椭圆C上，所以y₀²=3（1-$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}$），
代入上式可得 2x₀（1-t）+（t²-1）=0．
因为对于任意的动点P，∠PTN的平分线都过S，
所以此式对任意x₀∈（-2，2）都成立．
所以$\left\{\begin{array}{l}{1-t=0}\\{{t}^{2}-1=0}\end{array}\right.$，
解得t=1．
所以存在定点T，使得∠PTN的平分线过PM中点，
此时定点T的坐标为（1，0）．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的方程的运用，同时考查存在性问题的求法，角平分线的性质和中点坐标公式，考查运算能力，属于中档题．