Question

11．函数f（x）=$\frac{{x}^{2}-1}{x}$（3≤x≤4）的值域为[$\frac{8}{3}$，$\frac{15}{4}$]．

Answer 1

分析 原函数变成f（x）=x$-\frac{1}{x}$，求导，并判断f′（x）＞0，从而得到f（x）在[3，4]上单调递增，从而值域便为[f（3），f（4）]．

解答 解：$f（x）=\frac{{x}^{2}-1}{x}=x-\frac{1}{x}$；
∴$f′（x）=1+\frac{1}{{x}^{2}}＞0$；
∴f（x）在[3，4]上单调递增；
∴$f（x）∈[f（3），f（4）]=[\frac{8}{3}，\frac{15}{4}]$；
∴f（x）的值域为[$\frac{8}{3}，\frac{15}{4}$]．
故答案为：[$\frac{8}{3}，\frac{15}{4}$]．

点评 考查函数值域的概念，分离常数法的运用，根据导数符号判断函数单调性，以及根据函数单调性求函数值域的方法．