Question

如图，圆O是△ABC的外接圆，过点C的切线交AB的延长线于点D，且CD=2

7

，AB=BC=3，则AC的长为

3 7

2

．

Answer 1

分析：由已知CD是过点C圆的切线，根据切割线定理及已知中CD=2

7

，AB=BC=3，易求出BD的长，进而求出AD的长，由弦切角定理可得：∠DCB=∠A，又由∠D是△DCB与△DAC的公共角，我们易得△DCB∽△DAC根据三角形相似对应边成比例，我们即可求出AC的长．

解答：解：∵CD是过点C圆的切线
DBA为圆的割线
由切割线定理得：
CD²=DB•DA
由CD=2

7

，AB=BC=3
解得BD=4
∴DA=7
由弦切角定理可得：∠DCB=∠A，又由∠D=∠D
∴△DCB∽△DAC
∴BC•DA=AC•CD
由BC=3，DA=7，CD=2

7

，得
AC=

3 7

2

故答案为：

3 7

2

点评：本题考查的知识点是切割线定理，弦切角定理，三角形相似的判定与性质，要求线段的长，我们一般要要先分析已知线段与未知线段的位置关系，再选择恰当的定理或性质进行解答．