题目内容

(2013•朝阳区一模)如图,圆O是△ABC的外接圆,过点C作圆O的切线交BA的延长线于点D.若CD=
3
,AB=AC=2,则线段AD的长是
1
1
;圆O的半径是
2
2
分析:①由切割线定理得CD2=DA•DB,即可得出DA;②由余弦定理可得∠DCA,利用弦切角定理可得∠ABC=∠DCA,再利用正弦定理得2R=
AC
sin∠ABC
即可.
解答:解:①∵CD是⊙O的切线,由切割线定理得CD2=DA•DB,CD=
3
,DB=DA+AB=DA+2,
(
3
)2=DA(DA+2)
,又DA>0,解得DA=1.
②在△ACD中,由余弦定理可得cos∠ACD=
AC2+CD2-DA2
2AC•CD
=
22+(
3
)2-12
2×2×
3
=
3
2

∵0<∠ACD<π,∴∠ACD=
π
6

根据弦切角定理可得∠ABC=∠DCA=
π
6

由正弦定理可得2R=
AC
sin∠ABC
=
2
sin
π
6
=4,∴R=2.
故答案分别为1,2.
点评:熟练掌握切割线定理、弦切角定理、正弦定理、余弦定理是解题的关键.
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