Question

6．已知函数f（x）=log_a$\frac{1-mx}{x-1}$（a＞0，且a≠1，m≠1）是奇函数．
（1）求实数m的值；
（2）探究函数f（x）在（1，+∞）上的单调性；
（3）若a=2，试求函数f（x）在[3，5]上的值域．

Answer 1

分析 （1）由f（-x）=-f（x）得出log_a$\frac{1+mx}{-x-1}$=-log_a$\frac{1-mx}{x-1}$=log_a$\frac{x-1}{1-mx}$，化简得$\frac{1+mx}{-x-1}$=$\frac{x-1}{1-mx}$，解出即可；
（2）利用复合函数的单调性讨论得出结论．
（3）由第（2）问结论利用单调性求出最值．

解答 解：（1）∵f（x）=log_a$\frac{1-mx}{x-1}$（a＞0，且a≠1，m≠1）是奇函数
∴f（-x）=-f（x），
即log_a$\frac{1+mx}{-x-1}$=-log_a$\frac{1-mx}{x-1}$．
∴log_a$\frac{1+mx}{-x-1}$=log_a$\frac{x-1}{1-mx}$
∴$\frac{1+mx}{-x-1}$=$\frac{x-1}{1-mx}$，
∴m=-1；
（2）f（x）=log_a$\frac{1+x}{x-1}$=log_a（1+$\frac{2}{x-1}$）
令g（x）=1+$\frac{2}{x-1}$，g′（x）=-$\frac{2}{（x-1）^{2}}$＜0，
∴g（x）=1+$\frac{2}{x-1}$在（1，+∞）上是减函数．
∴当a＞1时，f（x）在（1，+∞）上是减函数；
当0＜a＜1时，f（x）在（1，+∞）上是增函数．
（3）由（2）知当a=2时，f（x）在[3，5]上为减函数．
∴f_min（x）=f（5）=log₂$\frac{3}{2}$，
f_max（x）=f（3）=log₂2=1．
∴f（x）在[3，5]上的值域是[log₂$\frac{3}{2}$，1]．

点评 本题考查了奇函数的定义，复合函数的单调性及函数单调性的应用．