题目内容
【题目】已知函数
.
（1）当
时，求函数
在点
处的切线方程；
（2）若函数有两个不同极值点，求实数
的取值范围；
（3）当
时，求证：对任意
，
恒成立.
【答案】（1）
（2）
（3）见解析
【解析】
（1）当
时,求导数，将切点横坐标带入导数得到斜率，再计算切线方程.
（2）求导，取导数为0，参数分离得到
，设右边为新函数，求出其单调性，求得取值范围得到答案.
（3）将导函数代入不等式，化简得到
，设左边为新函数，根据单调性得到函数最值，得到证明.
（1）当时，
．
∴
∴
，又∵
∴
，即
∴函 数 
在点
处的切线方程为．
（2）由题意知，函数的定义域为
，
，
令
，可得
，
当
时，方程仅有一解，∴
，
∴
令
则由题可知直线
与函数
的图像有两个不同的交点．
∵
∴当
时，
，
为单调递减函数；
当
时，
，为单调递增函数．
又∵
，
，且当
时，
∴
，
∴
∴实数
的取值范围为．
（3）∵
∴要证对任意
，
恒成立
即证
成立
即证成立
设
∴
∵
时，易知
在
上为减函数
∴
∴
在上为减函数
∴
∴成立
即对任意，恒成立．
【题目】某机构为了解某地区中学生在校月消费情况，随机抽取了100名中学生进行调查．右图是根据调查的结果绘制的学生在校月消费金额的频率分布直方图.已知[350,450），[450,550），[550,650）三个金额段的学生人数成等差数列，将月消费金额不低于550元的学生称为“高消费群” ．
（1）求m，n的值，并求这100名学生月消费金额的样本平均数
（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）根据已知条件完成下面2×2列联表，并判断能否有90%的把握认为“高消费群”与性别有关？
高消费群 | 非高消费群 | 合计 | |
男 | |||
女 | 10 | 50 | |
合计 |
（参考公式：
，其中
）
P( | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
