题目内容
【题目】已知函数.
(1)当时,求函数
在区间
上的值域;
(2)当时,试讨论函数
的单调性;
(3)若对任意,存在
,使得不等式
成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1);(2)
【解析】
(1)直接利用导数求函数的单调区间再求其值域.(2)对m分类讨论,利用导数求函数的单调性.(3)先求得
,转化为
,对任意
恒成立,再构造函数
,求其最小值得解.
(1)当时,函数
,所以
所以函数
单调递增,
故函数在区间
上的最小值为
最大值为
,所以区间
上的值域为
(2)
令得
当时,
,由
得
或
,由
得
,所以在区间
和
上,函数
单调递增,在区间
上,函数
单调递减.
当时,
,所以函数
单调递增.
当时,
,由
得
或
,由
得
,所以在区间
和
上,函数
单调递增,在区间
上,函数
单调递减.
(3)由(2)知,当时,函数
在
上单调递增,故当
时,
,因为对任意
,存在
,使得不等式
成立,所以
,得
,对任意
恒成立
记,则
当时,
若
则
从而
,所以函数
在
上单调递增,所以当
时,
符合题意
若,则存在
,使得
,则
在
上单调递减,在
上单调递增,从而当
时,
,说明当
时,
不恒成立,不符合题意
若,则
在
上单调递减,所以当
时,
,不符和题意。综上,实数
的取值范围是
.
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