Question

【题目】图1是由边长为4的正六边形，矩形，组成的一个平面图形，将其沿，折起得几何体，使得，且平面平面，如图2.

（1）证明：图2中，平面平面；

（2）设点M为图2中线段上一点，且，若直线平面，求图2中的直线与平面所成角的正弦值

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）要证平面平面，只需证平面，只需证且，要证，只需证平面，只需证，.根据直线与平面垂直的判定与性质和平面与平面垂直的判定定理即可证得；

（2）连接与交于点N，连接，利用线面平行的性质定理得到，得到，再以，，分别作为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，利用向量法可求得直线与平面所成角的正弦值.

（1）证明：因为为矩形，所以，又，，

所以平面，故，

因为为正六边形，所以，

故，所以，即，

又因为，所以平面，

因为平面，所以平面平面.

（2）解：连接与交于点N，连接，因为平面，且平面平面，

所以，所以，所以，所以，

由（1）知；，平面，故以，，分别作为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图：

，， ，，

所以，，，

设为平面的一个法向量，

则，取，则，，所以，

设直线与平面所成角为，

所以，

即直线与平面所成角的正弦值为.