题目内容
【题目】已知函数.
(1)证明:函数在其定义域上是单调递增函数.
(2)设,当
时,不等式
恒成立,求
的取值范围.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】
(1)先对函数求导,得到,令
,再由导数方法研究
单调性,求出最小值即可;
(2)先将当时,不等式
恒成立,化为
恒成立,令
,
,用导数方法研究其单调性,再记
,得到
单调性,进而可得出结果.
(1)证明:因为,
,所以
.
令,则
.
当时,
;当
时,
,
则在区间
上单调递减,在区间
上单调递增.
故,
从而在
上恒成立,
即在
上单调递增.
(2)解:当时,不等式
恒成立等价于当
时,不等式
恒成立,即当
时,
恒成立.
记,
,则
,
.
因为当时,
,所以
在
恒成立,
即在
上单调递减.
因为当时,
,所以
在
恒成立,
即在
上单调递减.
记,因为
,所以
在
上单调递减,所以
.
因为在
上恒成立,所以
,即
.
又,故
的取值范围为
.
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练习册系列答案
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【题目】某电子商务平台的管理员随机抽取了1000位上网购物者,并对其年龄(在10岁到69岁之间)进行了调查,统计情况如下表所示.
年龄 | ||||||
人数 | 100 | 150 | 200 | 50 |
已知,
,
三个年龄段的上网购物的人数依次构成递减的等比数列.
(1)求的值;
(2)若将年龄在内的上网购物者定义为“消费主力军”,其他年龄段内的上网购物者定义为“消费潜力军”.现采用分层抽样的方式从参与调查的1000位上网购物者中抽取5人,再从这5人中抽取2人,求这2人中至少有一人是消费潜力军的概率.