题目内容
2.函数f(x)=$\frac{2}{si{n}^{2}x}$$+\frac{8}{1+co{s}^{2}x}$的最小值是9.分析 由三角函数公式变形可得f(x)=1+$\frac{1+co{s}^{2}x}{si{n}^{2}x}$+4+$\frac{4si{n}^{2}x}{1+co{s}^{2}x}$,由基本不等式可得.
解答 解:f(x)=$\frac{2}{si{n}^{2}x}$$+\frac{8}{1+co{s}^{2}x}$
=$\frac{1+si{n}^{2}x+co{s}^{2}x}{si{n}^{2}x}$+$\frac{4+4si{n}^{2}x+4co{s}^{2}x}{1+co{s}^{2}x}$
=1+$\frac{1+co{s}^{2}x}{si{n}^{2}x}$+4+$\frac{4si{n}^{2}x}{1+co{s}^{2}x}$≥5+2$\sqrt{4}$=9,
当且仅当$\frac{1+co{s}^{2}x}{si{n}^{2}x}$=$\frac{4si{n}^{2}x}{1+co{s}^{2}x}$即cosx=$\frac{1}{2}$时取等号,
故答案为:9.
点评 本题考查三角函数的最值,凑出可用基本不等式的形式是解决问题的关键,属中档题.
练习册系列答案
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