题目内容

(本小题满分12分)
已知函数在其定义域上满足
(1)函数的图象是否是中心对称图形?若是,请指出其对称中心(不证明);
(2)当时,求x的取值范围;
(3)若,数列满足,那么:
①若,正整数N满足时,对所有适合上述条件的数列恒成立,求最小的N
②若,求证:
解:(1)依题意有.若,则,得,这与矛盾,∴,∴,故的图象是中心对称图形,其对称中心为点.………(3分)
(2)∵,∴又∵,∴
.………(6分)
(3)①由,∴.由
.令,则,又∵,∴,∴
,∴,∴当时,
【或∵,∴
又∵也符合,∴,即,得.要使恒成立,只需,即,∴.故满足题设要求的最小正整数 
② 由①知,∴
,∴当时,不等式成立.
证法1:∵,∴当时,


.………(12分)
证法2:∵,∴当时,
.………(12分)
证法3:∵,∴当时,

(12分)
证法4:当时,∵,∴
,∴
.………(12分)
证法5:∵
∴当时,
综上,对任意的,都有.………(12分)
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