题目内容

莆田四中高二年级设计了一个实验学科的能力考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3道题，并独立完成所抽取的3道题．规定：至少正确完成其中2道题的便可通过该学科的能力考查．已知6道备选题中考生甲能正确完成其中4道题，另2道题不能完成；考生乙正确完成每道题的概率都为
2
3
，且每道题正确完成与否互不影响．
（Ⅰ）求考生甲能通过该实验学科能力考查的概率；
（Ⅱ）记所抽取的3道题中，考生甲能正确完成的题数为ξ，写出ξ的概率分布，并求Eξ及Dξ；
（Ⅲ）试用统计知识分析比较甲、乙考生在该实验学科上的能力水平．
（Ⅰ）∵考生甲要通过实验考查，就必须正确完成所抽三道题中的2道或3道．
∴所求概率为P=
C24
C12
+
C34
C36
=
4
5

（Ⅱ）由已知，ξ=0，1、2、3，
P（ξ=1）=
C14
C22
C36
=
1
5
，P（ξ=2）=
C24
C12
C36
=
3
5
，P（ξ=3）=
C34
C36
=
1
5
．
所以考生甲正确完成实验操作的题数的概率分布列为：

Eξ=1×
1
5
+2×
3
5
+3×
1
5
=2
（Ⅲ）乙考生正确完成题数η的概率分布列为：
x20123
P
1
27
2
9
4
9
8
27
Eη=
0×
1
27
+1×
2
9
+2×
4
9
+3×
8
27
=2

∴Eξ=Eη，表明甲、乙两考生正确完成题数的平均取值相同．
∵Dξ=(1-2)2×
1
5
+(2-2)2×
3
5
+(3-2)2×
1
5
=
2
5

Dη=(0-2)2×
1
27
+(1-2)2×
2
9
+(2-2)2×
4
9
+(3-2)2×
8
27
=
2
3

∴Dξ＜Dη，这表明ξ的取值比η的取值相对集中于均值2的周围，
因此甲生的实际操作能力比乙生强．
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1
6
，
1
2
，
1
3
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1
3
，
1
2
，
1
6
．
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5
9
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