题目内容
【题目】已知函数.
(1)试讨论的单调性;
(2)若有两个极值点
,
,且
,求证:
.
【答案】(1)见解析(2)见解析
【解析】试题分析:(1)求导,
,讨论
两种情况即可得解(2)
,
由题意
,
是方程
的两个根,所以
,①
,②联立①②得出
,所以
令
,所以
,
,因此只需证明当
时,不等式
成立即可,即不等式
成立,构造差函数研究单调性即可得证.
试题解析:
(1)函数的定义域为
,
,
令,
,
当时,解得
,此时
在
上恒成立,
故可得在
上恒成立,即当
时,
在
上单调递增.
当时,解得
或
,
方程的两根为
和
,
当时,可知
,
,此时在
上
,
在
上单调递增;
当时,易知
,
,此时可得
在
上单调递增,在
上单调递减,在
上单调递增.
综上可知,当时,
在
上单调递增;
当时,
在区间
和区间
上单调递增,在区间
上单调递减.
(2),
,由题意
,
是方程
的两个根,所以
,①
,②
①②两式相加可得,③
①②两式相减可得,④
由③④两式消去可得
,
所以,
设,因为
,所以
,所以
,
,
因此只需证明当时,不等式
成立即可,即不等式
成立.
设函数,由(1)可知,
在
上单调递增,故
,即证得当
时,
,亦即证得
,
所以,即证得
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
练习册系列答案
相关题目
【题目】为了解某地区某种农产品的年产量x(单位:吨)对价格y(单位:千元/吨)和利润z的影响,对近五年该农产品的年产量和价格统计如下表:
x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
y | 7.0 | 6.5 | 5.5 | 3.8 | 2.2 |
(1)求y关于x的线性回归方程;
(2)若每吨该农产品的成本为2千元,假设该农产品可全部卖出,预测当年产量为多少时,年利润z取到最大值?(保留两位小数)
参考公式: ,