Question

12．已知函数$f（x）={cos}^{2}（x+\frac{π}{12}）$，$g（x）=1+\frac{1}{2}sin2x$．
（I）求函数h（x）=f（x）+g（x）的单调递增区间．
（II）设x=x₀是函数y=f（x）图象的一条对称轴，求g（x₀）的值．

Answer 1

分析 （I）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得h（x）=$\frac{1}{2}$sin（2x+$\frac{π}{3}$）$+\frac{3}{2}$，令2k$π-\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2k$π+\frac{π}{2}$，即可解得函数h（x）的单调递增区间．
（II）由x=x₀是函数y=f（x）图象的一条对称轴，可求2x₀+$\frac{π}{6}$=kπ，解得2x₀=k$π-\frac{π}{6}$（k∈Z），从而可得g（x₀）=1+$\frac{1}{2}$sin（k$π-\frac{π}{6}$），分情况讨论即可得解．

解答 解：（I）h（x）=f（x）+g（x）=$\frac{1}{2}$[1+cos（2x+$\frac{π}{6}$）]+1+$\frac{1}{2}$sin2x，…（1分）
=$\frac{1}{2}$[cos（2x+$\frac{π}{6}$）+sin2x]+$\frac{3}{2}$
=$\frac{1}{2}$（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x+$\frac{1}{2}$sin2x）+$\frac{3}{2}$…（2分）
=$\frac{1}{2}$sin（2x+$\frac{π}{3}$）$+\frac{3}{2}$…（3分）
由2k$π-\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2k$π+\frac{π}{2}$，…（4分）
得k$π-\frac{5π}{12}$≤x≤k$π+\frac{π}{12}$（k∈Z）时，…（5分）
故函数h（x）的单调递增区间是[k$π-\frac{5π}{12}$，k$π+\frac{π}{12}$]（k∈Z）…（6分）
（II）由题设知f（x）=$\frac{1}{2}$[1+cos（2x+$\frac{π}{6}$）]．．
因为x=x₀是函数y=f（x）图象的一条对称轴，所以2x₀+$\frac{π}{6}$=kπ，…（8分）
即2x₀=k$π-\frac{π}{6}$（k∈Z）…（9分）
所以g（x₀）=1+$\frac{1}{2}$sin2x₀=1+$\frac{1}{2}$sin（k$π-\frac{π}{6}$），…（10分）
当k为偶数时，g（x₀）=1+$\frac{1}{2}$sin（-$\frac{π}{6}$）=1-$\frac{1}{4}$=$\frac{3}{4}$，…（11分）
当k为奇数时，g（x₀）=1+$\frac{1}{2}$sin$\frac{π}{6}$=1+$\frac{1}{4}$=$\frac{5}{4}$．…（12分）

点评 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．