Question

给出下列四个命题：
（1）已知函数f（x）=

1 2 x2   x≤2 log2(x+a)  x＞2

在定义域内是连续函数，数列{a_n}通项公式为a_n=

1

an

，则数列{a_n}的所有项之和为1．
（2）过点P（3，3）与曲线（x-2）²-

(y-1)2

4

=1有唯一公共点的直线有且只有两条．
（3）向量

a

=(x2，x+1)，

b

=(1-x，t)，若函数f（x）=

a

•

b

在区间[-1，1]上是增函数，则实数t的取值范围是（5，+∞）；
（4）我们定义非空集合A的真子集的真子集为A的“孙集”，则集合{2，4，6，8，10}的“孙集”有26个．
其中正确的命题有

（1）（2）（4）

（填序号）

Answer 1

分析：（1）先求出a的值，再计算数列{a_n}的所有项之和；
（2）分别考虑所求直线的情况有①直线的斜率不存在②与渐近线平行，即可得到结论；
（3）计算出数量积，再分离参数求最值，即可得到结论；
（4）先算出集合{2，4，6，8，10}的真子集有：φ，{2}，{4}，{6}，{8}，{10}，{2，4}，…，{4，6，8，10}．再计算它们的真子集个数即可．

解答：解：（1）∵函数f（x）=

1 2 x2   x≤2 log2(x+a)  x＞2

在定义域内是连续函数，∴

1

2

×22=log2(2+a)，∴a=2
∴a_n=

1

2n

，∴数列{a_n}的所有项之和为

1 2

1- 1 2

=1，即（1）正确；
（2）曲线的右顶点为（3，1），故直线x=3与双曲线只有一个公共点，过点P （3，3）平行于渐近线时，直线L与双曲线只有一个公共点，有2条，所以，过P（3，3）的直线L与双曲线只有一个公共点，这样的直线共有3条，即（2）不正确；
（3）f（x）=

a

•

b

=-x³+x²+tx+t，∴f′（x）=-3x²+2x+t
∵函数f（x）=

a

•

b

在区间[-1，1]上是增函数，∴-3x²+2x+t≥0在区间[-1，1]上恒成立
∴t≥3x²-2x在区间[-1，1]上恒成立，∴t≥3+2=5，∴实数t的取值范围是[5，+∞），即（3）不正确；
（4）集合{2，4，6，8，10}的真子集为∅，{2}，{4}，{6}，{8}，{10}，{2，4}，…，{4，6，8，10}．它们的真子集个数共26个，故正确．
故答案为：（1）（4）

点评：本小题主要考查子集与真子集、等比数列的性质、平面向量的坐标运算等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．