题目内容

2.已知x2+y2+z2=1(x>0),则2$\sqrt{3}xy+4yz+{z^2}$的最大值是3,取到最大值时的x=$\frac{\sqrt{7}}{7}$,y=$\frac{\sqrt{21}}{7}$.

分析 将x2+y2+z2写成(x2+$\frac{1}{3}$y2)+($\frac{2}{3}$y2+$\frac{2}{3}$z2)+$\frac{1}{3}$z2的形式,再用基本不等式求最值.

解答 解:∵1=x2+y2+z2=x2+($\frac{1}{3}$+$\frac{2}{3}$)y2+($\frac{2}{3}$+$\frac{1}{3}$)z2
=(x2+$\frac{1}{3}$y2)+($\frac{2}{3}$y2+$\frac{2}{3}$z2)+$\frac{1}{3}$z2
=$\frac{1}{3}$[(3x2+y2)+(2y2+2z2)+z2]≥$\frac{1}{3}$[2$\sqrt{3}$xy+4yz+z2],
所以,2$\sqrt{3}$xy+4yz+z2≤3,即2$\sqrt{3}$xy+4yz+z2的最大值为3,
当且仅当:x2=$\frac{1}{3}$y2且$\frac{2}{3}$y2=$\frac{2}{3}$z2且x2+y2+z2=1,
解得x2=$\frac{1}{7}$,y2=$\frac{1}{7}$,z2=$\frac{3}{7}$,
由于x>0,要使该式取最大值,则y>0,z>0,
因此,x=$\frac{\sqrt{7}}{7}$,y=$\frac{\sqrt{21}}{7}$,z=$\frac{\sqrt{21}}{7}$,
故分别填:3,$\frac{\sqrt{7}}{7}$,$\frac{\sqrt{21}}{7}$.

点评 本题主要考查了基本不等式在求值问题中的应用,以及取等条件的分析,属于中档题.

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