题目内容
12.对任意两个非零的平面向量$\overrightarrow{α}$和$\overrightarrow{β}$,定义α○β=$\frac{\overrightarrow{α}•\overrightarrow{β}}{\overrightarrow{β}•\overrightarrow{β}}$.若平面向量$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$满足|$\overrightarrow{a}$|≥|$\overrightarrow{b}$|>0,$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角θ∈(0,$\frac{π}{4}$),且$\overrightarrow{a}$○$\overrightarrow{b}$和$\overrightarrow{b}$○$\overrightarrow{a}$都在集合{$\frac{n}{4}$|n∈Z}中,则$\overrightarrow{a}$○$\overrightarrow{b}$=( )A. | $\frac{1}{2}$ | B. | 1 | C. | $\frac{3}{2}$ | D. | $\frac{5}{2}$ |
分析 $\overrightarrow{a}$○$\overrightarrow{b}$=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{{\overrightarrow{b}}^{2}}$=$\frac{|\overrightarrow{a}|cosθ}{|\overrightarrow{b}|}$∈{$\frac{n}{4}$|n∈Z},$\overrightarrow{b}$○$\overrightarrow{a}$=$\frac{|\overrightarrow{b}|cosθ}{|\overrightarrow{a}|}$∈{$\frac{n}{4}$|n∈Z}.由平面向量$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$满足|$\overrightarrow{a}$|≥|$\overrightarrow{b}$|>0,$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角θ∈(0,$\frac{π}{4}$),可得$\frac{|\overrightarrow{a}|}{|\overrightarrow{b}|}$≥1,cosθ∈$(\frac{\sqrt{2}}{2},1)$.即可得出.
解答 解:$\overrightarrow{a}$○$\overrightarrow{b}$=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{{\overrightarrow{b}}^{2}}$=$\frac{|\overrightarrow{a}|cosθ}{|\overrightarrow{b}|}$∈{$\frac{n}{4}$|n∈Z},
$\overrightarrow{b}$○$\overrightarrow{a}$=$\frac{\overrightarrow{b}•\overrightarrow{a}}{{\overrightarrow{a}}^{2}}$=$\frac{|\overrightarrow{b}|cosθ}{|\overrightarrow{a}|}$∈{$\frac{n}{4}$|n∈Z}.
∵平面向量$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$满足|$\overrightarrow{a}$|≥|$\overrightarrow{b}$|>0,$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角θ∈(0,$\frac{π}{4}$),
∴$\frac{|\overrightarrow{a}|}{|\overrightarrow{b}|}$≥1,cosθ∈$(\frac{\sqrt{2}}{2},1)$.
取$\frac{|\overrightarrow{a}|}{|\overrightarrow{b}|}$=$\sqrt{3}$,cosθ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,n=3.
∴$\frac{|\overrightarrow{a}|cosθ}{|\overrightarrow{b}|}$=$\frac{3}{2}$,
故选:C.
点评 本题考查了数量积运算性质、集合的性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
A. | ε越大,零点的精确度越高 | B. | ε越大,零点的精确度越低 | ||
C. | 重复计算次数就是ε | D. | 重复计算次数与ε无关 |