Question

5．在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边长，已知a、b、c成等比数列，且a²-c²=ac-bc，△ABC的形状是等边三角形．．

Answer 1

分析 设c=1，代入已知的等式中，再消去a，得到关于b的方程，求出方程的解得到b的值，进而确定出a的值，发现a，b及c的值相等，根据三边相等的三角形为等边三角形可得证．

解答 解：∵a、b、c成等比数列，
∴由正弦定理得 b²=ac．
不失一般性，可设c=1，
∵b²=ac=a²-c²+bc，
∴b²=a=a²+b-1，
消去a得：b²=b⁴+b-1，即（b-1）（b³+b²+1）=0，
∵b³+b²+1≠0，
∴b-1=0，即b=1，
∴a=b²=1，
∴a=b=c=1，
则△ABC为等边三角形．…（14分）
故答案为：等边三角形．

点评 此题考查了解三角形以及三角形形状的判断，涉及的知识有：等边三角形的判定，正弦、余弦定理，特殊角的三角函数值，特值法，以及方程的思想，熟练掌握正弦、余弦定理是解本题的关键．