题目内容
【题目】已知各项均为正数的数列
的前
项和为
，满足：
（其中
为常数）．
（1）若
，
，数列
是等差数列，求
的值；
（2）若数列是等比数列，求证：
．
【答案】（1）
；（2）证明见解析．
【解析】
试题分析：（1）已知条件是
，这种问题一般都是再写一次即
，两式相减变形后可得
，注意这里有
，但由于数列
是等差数列，因此也有
，代入已知
可求得
；（2）与（1）相同方法得
，由数列
是等比数列，可设
，代入化简得
，下面对此式分析，首先
，
，
不是常数列，这样此式对
恒成立，必有
，恒等式变为
，不能得出什么有用结论，回到已知条件，已知变为
，此式中，
，那么只能有
，命题得证．
试题解析：（1）由题意知，
，
，
两式相减，得：
，
整理，得：
，
，
，
数列是等差数列，
，
由
得：，
，
，；
（2）由
得
，
两式相减，得：，
设等比数列的公比为
，
，
，由已知，可知
，
，
不是常数列，
；
，而
且
，
，
．
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