题目内容
【题目】在四棱锥中,底面
为菱形,侧面
为等边三角形,且侧面
底面
,
,
分别为
,
的中点.
(Ⅰ)求证: .
(Ⅱ)求证:平面平面
.
(Ⅲ)侧棱上是否存在点
,使得
平面
?若存在,求出
的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ)证明见解析;(Ⅲ)侧棱上存在点
,使得
平面
,且
.
【解析】试题分析:(1)要证,只需证明
平面
即可;(2)连结
,因为四边形
为菱形,所以
,因为
分别为
的中点,所以
,且
,由(1)知
平面
,进而证得
平面
,从而证的平面
平面
;(3)设
与
的交点分别为
连结
,因为四边形
为菱形,
分别为
的中点,所以
,设
为
上靠近
点三等分点,则
,所以
,进而得到
平面
.
试题解析:解:(1)因为为等边三角形,
为
的中点,
所以又因为平面
平面
,
平面平面
,
平面
,所以
平面
,
又因为平面
,所以
.
(2)连结,因为四边形
为菱形,所以
,因为
分别为
的中点,
所以,由(1)知
平面
,
平面
,
平面
,
又因为平面
,所以平面
平面
.
(3)当点为
上的三等分点(靠近
点)时,
平面
.
证明如下:设与
的交点分别为
连结
.因为四边形
为菱形,
分别为
的中点,所以
,设
为
上靠近
点三等分点,
则,所以
,因为
平面
平面
平面
.由于
平面
平面
平面
,即
平面
,
,所以平面
平面
,
平面
平面
.可见侧棱
上存在点
,使得
平面
,
且.
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