题目内容
【题目】如图,四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为1的正方形,PA⊥底面ABCD,E、F分别为AB、PC的中点.
(Ⅰ)求证:EF∥平面PAD;
(Ⅱ)若PA=2,试问在线段EF上是否存在点Q,使得二面角Q﹣AP﹣D的余弦值为?若存在,确定点Q的位置;若不存在,请说明理由.
【答案】(I)证明见解析;(II)满足条件的存在,是
中点.
【解析】
试题分析:本题考查二面角,空间中线面的位置关系,向量数量积运算,注意解题方法的积累,建立坐标系是解决本题的关键,属于中档题,考查学生的分析问题解决问题的能力、空间想象能力、逻辑推理能力、计算能力.第一问,取中点
,连接
,通过中位线定理可得
,利用线面平行的判定定理即得结论;第二问,以点
为坐标原点建立空间直角坐标系,则平面
的法向量与平面
的法向量的夹角的余弦值即为
,计算即可.
试题解析:证明:(Ⅰ)取中点
,连接
,在
中,
为
的中点,
,正方形
中
为
中点,
,
,故四边形
为平行四边形,
,
又平面
,
平面
,
平面
;
(Ⅱ)结论:满足条件的存在,是
中点.理由如下:如图:以点
为坐标原点建立空间直角坐标系,
则,由题易知平面
的法向量为
,假设存在
满足条件:设
,
,
,
,
,设平面
的法向量为
,
由,可得
,
,
由已知:,解得:
,
所以满足条件的存在,是
中点.
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