题目内容
【题目】已知抛物线的对称轴为坐标轴,顶点是坐标原点,准线方程为 ,直线
与抛物线相交于不同的
,
两点.
(1)求抛物线的标准方程;
(2)如果直线 过抛物线的焦点,求
的值;
(3)如果 ,直线
是否过一定点,若过一定点,求出该定点;若不过一定点,试说明理由.
【答案】
(1)解:已知抛物线的对称轴为坐标轴,顶点是坐标原点,准线方程为 ,
所以 ,
.
∴抛物线的标准方程为
(2)解:设 :
,与
联立,得
,
设 ,
,∴
,
,
∴
(3)解:假设直线 过定点,设
:
与
联立,得
,
设 ,
,∴
,
.
由 ,解得
,
∴ :
过定点
【解析】(1)求解抛物线标准方程,首先要根据题目条件确定抛物线的种类,为开口向右的抛物线;再由准线方程可得 =- 1,即可确定抛物线的方程。
(2)要求.
,设 A(x1,y1),B(x2,y2),即求x1x2+y1y2的值,故要联立直线AB和抛物线。已知直线AB过焦点(1,0),斜率不为0且可以不存在,故设直线方程为my=x1,联立方程组,得到一元二次方程,再利用韦达定理和换元法即可求得x1x2+y1y2的值。
(3)利用反证法,假设存在并试图求解,若无解即为不存在;直线AB与抛物线必有两焦点,故可设直线为my=x+n,联立方程组得到一元二次方程,再用韦达定理得到.
=4=n2+4n,求得n=-2。
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