题目内容
【题目】在平面直角坐标系中,平行四边形
的周长为8,其对角线
的端点
,
.
(1)求动点的轨迹
的方程;
(2)已知点,记直线
与曲线
的另一交点为
,直线
,
分别与直线
交于点
,
.证明:以线段
为直径的圆恒过点
.
【答案】(1)(2)详见解析
【解析】
(1)由椭圆的定义得到点的轨迹为以
,
为焦点的椭圆(除去长轴端点),结合椭圆的性质得到参数值;(2)将直线设为横截式,联立直线和椭圆方程,设出直线PA,PE,可得到
,
,
根据韦达定理得到结果为0,进而得到线段
为直径的圆恒过点
.
(1)依题意得
∴点的轨迹为以
,
为焦点的椭圆(除去长轴端点)
设的方程为
∴,
,
∴
(2)设直线的方程为
,
,
由得
易得,∴
,
,
∴直线的方程为
,直线
的方程为
∴,
.
∴,
,∴
又
∴
∴∴以线段
为直径的圆恒过点
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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