Question

12．圆C₁的方程为（x-3）²+y²=$\frac{4}{25}$，圆C₂的方程为（x-3-cosθ）²+（y-sinθ）²=$\frac{1}{25}$（θ∈R），过C₂上任意一点P作圆C₁的两条切线PM、PN，切点分别为M、N，则∠MPN的最大值为$\frac{π}{3}$．

Answer 1

分析 首先判断圆与圆的位置关系，进一步利用特殊位置把结论转化为解三角形问题，最后求出∠MPN的最大值．

解答 解：圆C₁的方程为（x-3）²+y²=$\frac{4}{25}$，圆心坐标为：C₁（3，0）半径r=$\frac{2}{5}$．
圆C₂的方程（x-3-cosθ）²+（y-sinθ）²=$\frac{1}{25}$，圆心坐标为：C₂（3+cosθ，sinθ），半径R=$\frac{1}{5}$．
由于cos²θ+sin²θ=1，|C₁C₂|＞R+r，
所以两圆相离．
过C₂上任意一点P作圆C₁的两条切线PM、PN，切点分别为M、N，则要求∠MPN的最大值，
只需满足：在圆C₂找到距离圆C₁最近点即可．
所以|PC₁|=1-$\frac{1}{5}$=$\frac{4}{5}$，|MC₁|=$\frac{2}{5}$．
在Rt△MPC₁中，根据|PC₁|=$\frac{4}{5}$，|MC₁|=$\frac{2}{5}$，解得：∠MPC₁=$\frac{π}{6}$，
所以：∠MPN=$\frac{π}{3}$，
即∠MPN的最大值为：$\frac{π}{3}$．
故答案为：$\frac{π}{3}$．

点评 本题考查的知识要点：圆与圆的位置关系，特殊位置出现相关的三角形知识，及角的最值问题．