Question

17．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}a{x^2}$-bx，g（x）=lnx-f（x）．
（Ⅰ）若f（2）=2，讨论函数g（x）的单调性；
（Ⅱ）若f（x）是关于x的一次函数，且函数g（x）有两个不同的零点x₁，x₂，求实数b的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求证：x₁x₂＞e²．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出g（x）的导数，通过讨论a的范围，得到函数g（x）的单调性；
（Ⅱ）由f（x）=-bx，得到g（x）的表达式，令g（x）=0，得$b=-\frac{lnx}{x}$，记$h（x）=-\frac{lnx}{x}$，通过讨论h（x）的单调性，得到h（x）取得最小值$-\frac{1}{e}$，从而得到b的范围；
（Ⅲ）要证${x_1}{x_2}＞{e^2}$，即证$ln\frac{x_2}{x_1}＞\frac{{2（{x_2}-{x_1}）}}{{{x_1}+{x_2}}}=\frac{{2（\frac{x_2}{x_1}-1）}}{{1+\frac{x_2}{x_1}}}$，设$t=\frac{x_2}{x_1}$（t＞1），$F（t）=lnt-\frac{2（t-1）}{1+t}=lnt+\frac{4}{t+1}-2$，通过求导得到F（t）的单调性，从而得到F（t）＞0，进而证出结论．

解答 解：（Ⅰ）由f（2）=2，得a-b=1．
则$g（x）=lnx-\frac{1}{2}a{x^2}+（a-1）x$，其定义域为（0，+∞），
$g'（x）=\frac{1}{x}-ax+（a-1）=\frac{{-a{x^2}+（a-1）x+1}}{x}=-\frac{（ax+1）（x-1）}{x}$，
当a＜0时，令g'（x）=0，解得${x_1}=-\frac{1}{a}$，x₂=1，
①当a＜-1时，则$0＜-\frac{1}{a}＜1$，
函数g（x）在区间$（0{，_{\;}}-\frac{1}{a}）$和（1，+∞）上单调递增，
在区间$（-\frac{1}{a}{，_{\;}}1）$上单调递减，
②当a=-1时，$g'（x）=\frac{{{{（x-1）}^2}}}{x}$≥0，
函数g（x）在区间（0，+∞）上单调递增，
③当-1＜a＜0时，则$-\frac{1}{a}＞1$，
函数g（x）在区间（0，1）和$（-\frac{1}{a}{，_{\;}}+∞）$上单调递增，
在区间$（1{，_{\;}}-\frac{1}{a}）$上单调递减，
④当a≥0时，g（x）在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减，
（Ⅱ）∵f（x）是关于x的一次函数，
∴g（x）=lnx+bx，其定义域为（0，+∞）．
由g（x）=0，得$b=-\frac{lnx}{x}$，记$h（x）=-\frac{lnx}{x}$，则$h'（x）=\frac{lnx-1}{x^2}$，
∴$h（x）=-\frac{lnx}{x}$在（0，e）上单调递减，在（e，+∞）上单调递增．
∴当x=e时，$h（x）=-\frac{lnx}{x}$取得最小值$-\frac{1}{e}$，
由h（1）=0，得x∈（0，1）时，h（x）＞0，
而x∈（1，+∞）时，h（x）＜0，如下图：

∴实数b的取值范围是$（-\frac{1}{e}{，_{\;}}0）$．
（Ⅲ）由题意，得lnx₁+bx₁=0，lnx₂+bx₂=0，
故lnx₁x₂+b（x₁+x₂）=0，$ln\frac{x_2}{x_1}+b（{x_2}-{x_1}）=0$．
∴$\frac{{ln{x_1}{x_2}}}{{ln\frac{x_2}{x_1}}}=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{{{x_2}-{x_1}}}$．
不妨设x₁＜x₂，要证${x_1}{x_2}＞{e^2}$，只需证$ln{x_1}{x_2}=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{{{x_2}-{x_1}}}•ln\frac{x_2}{x_1}＞2$，
即证$ln\frac{x_2}{x_1}＞\frac{{2（{x_2}-{x_1}）}}{{{x_1}+{x_2}}}=\frac{{2（\frac{x_2}{x_1}-1）}}{{1+\frac{x_2}{x_1}}}$，
设$t=\frac{x_2}{x_1}$（t＞1），$F（t）=lnt-\frac{2（t-1）}{1+t}=lnt+\frac{4}{t+1}-2$，
则$F'（t）=\frac{1}{t}-\frac{4}{{{{（t+1）}^2}}}=\frac{{{{（t-1）}^2}}}{{t{{（t+1）}^2}}}＞0$，
∴函数F（t）在（1，+∞）上单调递增，而F（1）=0．
∴F（t）＞0，即$lnt＞\frac{2（t-1）}{1+t}$．
∴${x_1}{x_2}＞{e^2}$．

点评 本题考察了导数的应用，考察函数的单调性、函数的极值问题，考察分类讨论思想、换元思想，本题是一道难题．