Question

7．已知x∈R，f（x）=$\frac{1}{2}$sin²x（$\frac{1}{tan\frac{x}{2}}$-tan$\frac{x}{2}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x．
（1）求f（x）的单调递减区间；
（2）若x∈（0，$\frac{π}{2}$），f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，求x的值．

Answer 1

分析 （1）首先，将正切化简为弦函数，然后，通分利用二倍角公式进行化简，再利用辅助角公式进行化简函数解析式，再求解其单调减区间；
（2）结合所给的范围求解其值即可．

解答 解：（1）f（x）=$\frac{1}{2}$sin²x（$\frac{1}{tan\frac{x}{2}}$-tan$\frac{x}{2}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x．
=$\frac{1}{2}$sin²x（$\frac{cos\frac{x}{2}}{sin\frac{x}{2}}$-$\frac{sin\frac{x}{2}}{cos\frac{x}{2}}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x．
=sin²x$\frac{co{s}^{2}\frac{x}{2}-si{n}^{2}\frac{x}{2}}{2sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}cos2x$
=sin²x•$\frac{cosx}{sinx}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x
=$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x
=sin（2x+$\frac{π}{3}$），
∴f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）．
令$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{3}$≤$\frac{3π}{2}$+2kπ，k∈Z，
∴$\frac{π}{6}$+2kπ≤2x≤$\frac{7π}{6}$+2kπ，
∴$\frac{π}{12}$+kπ≤x≤$\frac{7π}{12}$+kπ，k∈Z，
∴f（x）的单调递减区间：[$\frac{π}{12}$+kπ，$\frac{7π}{12}$+kπ]，（k∈Z）
（2）∵f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴sin（2x+$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且x∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴2x+$\frac{π}{3}$∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$），
∴2x+$\frac{π}{3}$=$\frac{2π}{3}$，
∴x=$\frac{π}{6}$．

点评 本题重点考查了三角函数的图象与性质、三角公式、辅助角公式等知识，考查比较综合，属于中档题．