Question

8．设${（{5\sqrt{x}-\root{3}{x}}）^n}$展开式的各项系数的和为M，二项式系数的和为N，M-N=992，则展开式中x²项的系数为（　　）

• A． 250
• B． -250
• C． 150
• D． -150

Answer 1

分析 利用赋值法求出展开式的各项系数和，据展开式的二项式系数和为2ⁿ，列出方程求出n；
利用二项展开式的通项公式写出第r+1项，令x的指数为2求出展开式中x²项的系数．

解答 解：∵${（{5\sqrt{x}-\root{3}{x}}）^n}$展开式的各项系数的和为：
M=（5-1）ⁿ=4ⁿ，
二项式系数的和为
N=2ⁿ，
M-N=4ⁿ-2ⁿ=992，
∴2²ⁿ-2ⁿ-992=0，
令2ⁿ=k，则k²-k-992=0，
解得k=32，∴n=5，
又展开式的通项公式
T_r+1=C₅^r•${（5\sqrt{x}）}^{5-r}$•${（-\root{3}{x}）}^{r}$=（-1）^r•C₅^r•5^5-r•${x}^{\frac{15-r}{6}}$，
令$\frac{15-r}{6}$=2，解得r=3，
∴x²项系数为（-1）³C₅³•5²=-250．
故选：B．

点评 本题考查了利用赋值法求展开式的各项系数和的应用问题，也考查了二项式系数的性质以及通项公式的应用问题，是基础题目．