Question

（本小题满分12分） 设函数 
（1）求函数的单调区间；
（2）若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；
（3）若关于的方程在区间上恰好有两个相异的实根，求实数的取值范围。

Answer 1

（1）f(x)的单调增区间为（－2，－1）和（0，+∞），单调减区间（－1，0）和（－∞，－2）（2）m>e²－2（3）2－ln4<a≤3－ln9

因为
（1）令
或x>0，所以f(x)的单调增区间为（－2，－1）和（0，+∞）；…（3分）
令
的单调减区间（－1，0）和（－∞，－2）。……（4分）
（2）令（舍），由（1）知，f(x)连续，
    
因此可得：f(x)<m恒成立时，m>e²－2     （8分）
（3）原题可转化为：方程a=(1+x)－ln(1+x)²在区间[0，2]上恰好有两个相异的实根。

且2－ln4<3－ln9<1，∴的最大值是1，的最小值是2－ln4。
所以在区间[0，2]上原方程恰有两个相异的实根时实数a的取值范围是：
2－ln4<a≤3－ln9     ………………… （12分）