Question

4．在平面直角坐标系xOy中，已知动圆过点（2，0），且被y轴所截得的弦长为4．
（Ⅰ） 求动圆圆心的轨迹C₁的方程；
（Ⅱ） 过点P（1，2）分别作斜率为k₁，k₂的两条直线l₁，l₂，交C₁于A，B两点（点A，B异于点P），若k₁+k₂=0，且直线AB与圆C₂：（x-2）²+y²=$\frac{1}{2}$相切，求△PAB的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设动圆圆心坐标为（x，y），半径为r，利用点（2，0）在圆上及被y轴所截得的弦长为4，计算即可；
（Ⅱ）设直线l₁的斜率为k，通过将点P（1，2）代入抛物线y²=4x并与直线l₁联立，计算可得直线AB的斜率，不妨设l_AB：y=-x+b，利用直线AB与圆C相切可得b=3或1，分b=3、b=1两种情况讨论即可．

解答 解：（Ⅰ）设动圆圆心坐标为（x，y），半径为r，
由题可知$\left\{\begin{array}{l}{（x-2）^{2}+{y}^{2}={r}^{2}}\\{{2}^{2}+{x}^{2}={r}^{2}}\end{array}\right.$，
∴动圆圆心的轨迹方程为：y²=4x；
（Ⅱ）设直线l₁的斜率为k，则l₁：y-2=k（x-1），l₂：y-2=-k（x-1），
点P（1，2）在抛物线y²=4x上，
联立$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{y-2=k（x-1）}\end{array}\right.$，消去x得：ky²-4y+8-4k=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），△＞0恒成立，即（k-1）²＞0，有k≠1，
∴y₁y_P=$\frac{8-4k}{k}$，∵y_P=2，∴y₁=$\frac{4-2k}{k}$，
代入直线方程可得：${x}_{1}=\frac{（k-2）^{2}}{{k}^{2}}$，同理可得：x₂=$\frac{（k+2）^{2}}{{k}^{2}}$，${y}_{2}=\frac{4+2k}{-k}$，
k_AB=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=$\frac{\frac{4+2k}{-k}-\frac{4-2k}{k}}{\frac{（k+2）^{2}-（k-2）^{2}}{{k}^{2}}}$=-1，
不妨设l_AB：y=-x+b，
∵直线AB与圆C相切，∴$\frac{|b-2|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，解得b=3或1，
当b=3时，直线AB过点P，舍去，
当b=1时，由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+1}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，可得x²-6x+1=0，
此时△=32，∴|AB|=$\sqrt{1+1}•\sqrt{32}$=8，
∴P到直线AB的距离d=$\sqrt{2}$，
△PAB的面积为$\frac{1}{2}•d•|AB|$=4$\sqrt{2}$．

点评 本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查运算求解能力，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题．