题目内容
【题目】设a,b,c,d均为正数,且a+b=c+d,证明:
(1)若abcd,则++;
(2)++是|a-b||c-d|的充要条件
【答案】
(1)
∵(+)2 =a+b+2,(+)2=c+d+2,
由题设a+b=c+d,abcd,得+)2(+)2,
∴++。
(2)
若|a-b||c-d|,则(a-b)2(c-d)2,即(a+b)2-4ab(c+d)2-4cd
∵a+b=c+d,
∴abcd,
由(I)得++。
若++,则(+)2(+)2,即a+b+2c+d+2
∵a+b=c+d,所以abcd,于是(a-b)2=(a+b)2-4ab(c+d)2-4cd=(c-d)2.
∴|a-b||c-d|
综上所述,++是|a-b||c-d|的充要条件。
【解析】(I)要证明++ , 只需证明(+)2(+)2;展开结合已知条件易证;
(Ⅱ)充要条件的证明需要分为两步,即充分条件的证明和必要条件的证明.证明的关键是寻找条件和结论以及它们和已知之间的联系.
【考点精析】解答此题的关键在于理解归纳推理的相关知识,掌握根据一类事物的部分对象具有某种性质,退出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理,叫做归纳推理,以及对类比推理的理解,了解根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性,推测其中一类事物具有与另外一类事物类似的性质的推理,叫做类比推理.
练习册系列答案
相关题目