Question

16．已知f²（x+1）+f²（x）=9，求函数f（x）的周期．

Answer 1

分析 令x取x-1代入f²（x+1）+f²（x）=9得：f²（x）+f²（x-1）=9，联立两个式子后化简，利用函数的周期定义分别求出函数的周期．

解答 解：∵f²（x+1）+f²（x）=9，
∴令x取x-1代入上式得，f²（x）+f²（x-1）=9，
则f²（x+1）+f²（x）=f²（x）+f²（x-1），
即f²（x+1）=f²（x-1），
∴[f（x+1）-f（x-1）][f（x+1）+f（x-1）]=0，
①、当f（x+1）-f（x-1）=0时，有f（x+1）=f（x-1），则f（x）=f（x+2），
∴函数f（x）的周期是2；
②当f（x+1）+f（x-1）=0时，有f（x+1）=-f（x-1），
则f（x+2）=-f（x），即f（x+4）=-f（x+2）=f（x），
∴函数f（x）的周期是4．

点评 本题考查函数的周期定义，以及化简、变形能力，属于中档题．