Question

矩形ABCD中，AB=2，BC=1，E为CD上一点，且DE=x，延长AE交BC延长线于点F，设△CEF，△ADE的面积分别为S₁，S₂令S=S₁+S₂．
（Ⅰ）求S关于x的解析式；
（Ⅱ）求S的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意知△ADE∽△FCE，根据对应边成比例以及 AB=2，BC=1，DE=x，求得CE、CF的值，可得S=S1+S2=

1

2

×

2-x

x

×(2-x)+

1

2

×1×x．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得S=x+

2

x

-2，利用基本不等式求得S的最小值．

解答：解：（Ⅰ）由题意知△ADE∽△FCE，∴

DE

DA

=

CE

CF

，又∵AB=2，BC=1，DE=x，
∴CE=2-x，CF=

2-x

x

．…（4分）
∴S=S1+S2=

1

2

×

2-x

x

×(2-x)+

1

2

×1×x=x+

2

x

-2(0＜x＜2)．…（8分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得S=x+

2

x

-2≥2

x• 2 x

-2=2

2

-2，当x=

2

x

时，即x=

2

时取等号，
所以S的最小值为2

2

-2．…（16分）

点评：本题主要考查求函数的解析式，基本不等式的应用，属于中档题．