题目内容

13.已知△ABC满足∠B>∠C,∠A的平分线和过顶点的高线、中线与边BC分别交与点L、H、D.证明∠HAL=∠DAL的充分必要条件是∠BAC=90°.

分析 先证充分性:当∠BAC=90°时,可以退出∠BAH=∠ACB=∠CAD,因此∠HAL=∠DAL;
再证必要性:过点C作CK⊥AC交CM的延长线于点K,可以推得A,B,C,K四点共圆.

解答 证明:先证充分性
∵∠BAC=90°,AH是高、AD是中线,
∴∠BAH=∠ACB=∠CAD,
∵AL是角平分线,∴∠BAL=∠CACL,
∴∠HAL=∠DAL;
再证必要性
过点C作CK⊥AC交CM的延长线于点K,
∵∠HAL=∠DAL,且∠BAL=∠CAL,
∴∠BAH=∠CAD,∴∠ABH=∠CKA,
∴A,B,C,K四点共圆,
∵∠ACK=90°,∴AK为圆的直径,
∵D是BC中点,∴BD=CD,即直径AK平分弦BC,且AK不垂直于BC,
∴BC也为圆的直径,∴∠BAC=90°.

点评 本题主要考查了平面几何问题的证明,涉及三角形的角平分线,中线,高,以及四点共圆,具有一定的综合性,属于难题.

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