Question

给出定义：若m-

1

2

＜x≤m+

1

2

 （其中m为整数），则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}，即{x}=m．在此基础上给出下列关于函数f（x）=x-{x}的三个命题：
①y=f（x）的定义域是R，值域是（-

1

2

，

1

2

]；
②函数y=f（x）的最小正周期为1； 
③函数y=f（x）在（-

1

2

，

3

2

]上是增函数．
则上述命题中真命题的序号是

①②

．

Answer 1

分析：依据函数定义，得到f（x）=x-{x再对三个命题逐个验证后，即可得到正确结论．

解答：解：由题意知，{x}-

1

2

＜x≤{x}+

1

2

，则得到f（x）=x-{x}∈（-

1

2

，

1

2

]，则命题①为真命题；
由题意知，函数f（x）=x-{x}∈（-

1

2

，

1

2

]的最小正周期为1，则命题②为真命题；
由于{x}-

1

2

＜x≤{x}+

1

2

，则得到f（x）=x-{x}为分段函数，且在（-

1

2

，

1

2

]，（

1

2

，

3

2

]上为增函数，
但在区间（-

1

2

，

3

2

]上不是增函数，故命题③为假命题．
故答案为 ①②

点评：本题考查的知识点是利用函数的三要素、性质判断命题的真假，我们要根据定义中给出的函数，结合求定义域、值域的方法，及对称性、周期性和单调性的证明方法，对三个命题逐一进行判断，属于基础题．