Question

已知点B是半圆x²+y²=1（y＞0）上的一个动点，点A的坐标为（2，0），△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形，且顶点A、B、C按顺时针方向排列．求点C的轨方程．

Answer 1

分析：由题意“已知点B是半圆x²+y²=1（y＞0）上的一个动点，点A的坐标为（2，0），△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形，且顶点A、B、C按顺时针方向排列．求点C的轨方程”，可设C（x，y），令B（x₀，y₀），由等腰直角三角形的特征，两直角边垂直且相等建立B，C两点的坐标之间的关系，用点C的坐标，表示出点B的坐标，代入x²+y²=1，整理即可得到点C的轨迹方程

解答：解：设C（x，y），令B（x₀，y₀），
∵点A的坐标为（2，0），△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形，
∴k_AB×k_AC=-1，且AB=AC
∴

y

x-2

×

y0

x0-2

=-1    ①；
（x-2）²+y²=（x₀-2）²+y₀²   ②
由①得x0-2=

yy0

x-2

代入②得（x-2）²+y²=(

yy0

x-2

)2+y0 2
整理得（x-2）²+y²=y0 2×(1+

y2

(x-2)2

)，即y0 2=

(x-2)2+y2

1+ y2 (x-2)2

=（x-2）²
又y₀＞0，x≥2
可得y₀=x-2代入①得

y

x0-2

=-1，解得x₀=2-y
又点B（x₀，y₀）是半圆x²+y²=1（y＞0）上的一个动点
所以有（x-2）²+（y-2）²=1（x≥2）
故点C的轨迹方程是（x-2）²+（y-2）²=1（x≥2）

点评：本题考查求轨迹方程，解题的关键是理解题意，建立起已知轨迹方程的曲线上的点B的坐标与要求的轨迹方程的曲线上的点C的坐标之间的关系，再代入已知的轨迹方程，整理得出要求的轨迹方程，此过程称为代入法，其步骤为未知表示已知，再代入已知得出要求的轨迹方程，本题由垂直与线段相等两个关系建立方程，由于都是符号运算，运算量较大，变形时要严谨，不要因为运算出错，导致解题失败，由解题过程可以看出，此类题求解规律固定，入手一般是从找等量关系开始，切记！