题目内容
（2013•松江区二模）已知数列{an}(n∈N*)的前n项和为Sn，数列{
}是首项为0，公差为
的等差数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn=
•(-2)an(n∈N*)，对任意的正整数k，将集合{b2k-1，b2k，b2k+1}中的三个元素排成一个递增的等差数列，其公差为dk，求证：数列{dk}为等比数列；
（3）对（2）题中的dk，求集合{x|dk＜x＜dk+1，x∈Z}的元素个数．
| Sn |
| n |
| 1 |
| 2 |
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn=
| 4 |
| 15 |
（3）对（2）题中的dk，求集合{x|dk＜x＜dk+1，x∈Z}的元素个数．
分析：（1）利用等差数列的通项公式即可得出；
（2）利用（1）得出bn，从而得出b2k，b2k-1，b2k+1依次成递增的等差数列，求出dk=b2k+1-b2k-1，利用等比数列的定义即可判断出结论；
（3）对k分奇数、偶数讨论，利用二项式定理展开，即可得出集合元素的个数．
（2）利用（1）得出bn，从而得出b2k，b2k-1，b2k+1依次成递增的等差数列，求出dk=b2k+1-b2k-1，利用等比数列的定义即可判断出结论；
（3）对k分奇数、偶数讨论，利用二项式定理展开，即可得出集合元素的个数．
解答：解：（1）由条件得
=0+(n-1)
，即Sn=
(n-1)，
∴an=n-1(n∈N*)．
（2）由（1）可知bn=
•(-2)n-1(n∈N*)
∴b2k-1=
(-2)2k-2=
•22k-2，b2k=
(-2)2k-1=-
•22k-1，b2k+1=
(-2)2k=
•22k，
由2b2k-1=b2k+b2k+1及b2k＜b2k-1＜b2k+1得b2k，b2k-1，b2k+1依次成递增的等差数列，
所以dk=b2k+1-b2k-1=
•22k-
•22k-2=
，
满足
=4为常数，所以数列{dk}为等比数列．
（3）①当k为奇数时，
同样，可得dk+1=
=
=5k-
5k-1+
5k-2-…+
50(-1)k+
，
所以，集合{x|dk＜x＜dk+1，x∈Z}的元素个数为(dk+1-
)-(dk+
)+1=dk+1-dk+
=
；
②当k为偶数时，同理可得集合{x|dk＜x＜dk+1，x∈Z}的元素个数为
| Sn |
| n |
| 1 |
| 2 |
| n |
| 2 |
∴an=n-1(n∈N*)．
（2）由（1）可知bn=
| 4 |
| 15 |
∴b2k-1=
| 4 |
| 15 |
| 4 |
| 15 |
| 4 |
| 15 |
| 4 |
| 15 |
| 4 |
| 15 |
| 4 |
| 15 |
由2b2k-1=b2k+b2k+1及b2k＜b2k-1＜b2k+1得b2k，b2k-1，b2k+1依次成递增的等差数列，
所以dk=b2k+1-b2k-1=
| 4 |
| 15 |
| 4 |
| 15 |
| 4k |
| 5 |
满足
| dk+1 |
| dk |
（3）①当k为奇数时，
|
同样，可得dk+1=
| 4k+1 |
| 5 |
| (5-1)k+1 |
| 5 |
| C | 1 k+1 |
| C | 2 k+1 |
| C | k k+1 |
| 1 |
| 5 |
所以，集合{x|dk＜x＜dk+1，x∈Z}的元素个数为(dk+1-
| 1 |
| 5 |
| 1 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
| 3(4k+1) |
| 5 |
②当k为偶数时，同理可得集合{x|dk＜x＜dk+1，x∈Z}的元素个数为
| 3•(4k-1) |
| 5 |
点评：熟练掌握等差数列的通项公式、等比数列的定义、二项式定理、分类讨论的思想方法是解题的关键．
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