Question

【题目】如果函数y=f（x）的定义域为R，对于定义域内的任意x，存在实数a使得f=f（x+a）=f（﹣x）成立，则称此函数具有“P（a）性质”；
（1）判断函数y=sinx是否具有“P（a）性质”，若具有“P（a）性质”，试写出所有a的值；若不具有“P（a）性质”，请说明理由；
（2）已知y=f（x）具有“P（0）性质”，当x≤0时，f（x）=（x+t）2 ， t∈R，求y=f（x）在[0，1]上的最大值；
（3）设函数y=g（x）具有“P（±1）性质”，且当﹣ ≤x≤ 时，g（x）=|x|，求：当x∈R时，函数g（x）的解析式，若y=g（x）与y=mx（m∈R）交点个数为1001个，求m的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由sin（x+a）=sin（﹣x）得sin（x+a）=﹣sinx，

根据诱导公式得a=2kπ+π（k∈Z）．

∴y=sinx具有“P（a）性质”，其中a=2kπ+π（k∈Z）

（2）解：∵y=f（x）具有“P（0）性质”，

∴f（x）=f（﹣x）．

设x≥0，则﹣x≤0，∴f（x）=f（﹣x）=（﹣x+t）2=（x﹣t）2

∴f（x）=

当t≤0时，∵y=f（x）在[0，1]递增，

∴x=1时ymax=（1﹣t）2，

当0＜t＜ 时，y=f（x）在[0，t]上递减，在[t，1]上递增，且f（0）=t2＜f（1）=（1﹣t）2，

∴x=1时ymax=（1﹣t）2，

当t≥ 时，

∵y=f（x）在[0，m]上递减，在[m，1]上递增，且f（0）=m2≥f（1）=（1﹣m）2，

∴x=0时，ymax=t2，

综上所述：当t＜ 时，ymax=f（1）=（1﹣t）2，

当t≥ ymax=f（0）=t2

（3）解：∵y=g（x）具有“P（±1）性质”，

∴g（1+x）=g（﹣x），g（﹣1+x）=g（﹣x），

∴g（x+2）=g（1+1+x）=g（﹣1﹣x）=g（x），从而得到y=g（x）是以2为周期的函数．

又 ≤x≤ 设，则﹣ ≤x﹣1≤ ，

g（x）=g（x﹣2）=g（﹣1+x﹣1）=g（﹣x+1）=|﹣x+1|=|x﹣1|=g（x﹣1）．

再设n﹣ ≤x≤n+ （n∈z），

当n=2k（k∈z），则2k﹣ ≤x≤2k+ ，则﹣ ≤x﹣2k≤ ，

g（x）=g（x﹣2k）=|x﹣2k|=|x﹣n|；

当n=2k+1（k∈z），则2k+1﹣ ≤x≤2k+1+ ，则 ≤x﹣2k≤

g（x）=g（x﹣2k）=|x﹣2k﹣1|=|x﹣n|；

∴g（x）=

∴对于n﹣ ≤x≤n+ ，（n∈z），都有g（x）=|x﹣n|，而n+1﹣ ＜x+1＜n+1+ ，

∴g（x+1）=|（x+1）﹣（n+1）|=|x﹣n|=g（x），

∴y=g（x）是周期为1的函数．

①当m＞0时，要使y=mx与y=g（x）有1001个交点，只要y=mx与y=g（x）在[0，500）有1000个交点，而在[500，501]有一个交点．

∴y=mx过（ ， ），从而得m=

②当m＜0时，同理可得m=﹣

③当m=0时，不合题意．

综上所述m=±

【解析】（1）根据题意先检验sin（x+a）=sin（﹣x）是否成立即可检验y=sinx是否具有“P（a）性质”（2）由y=f（x）具有“P（0）性质可得f（x）=f（﹣x），结合x≤0时的函数解析式可求x≥0的函数解析式，结合t的范围判断函数y=f（x）在[0，1]上的单调性即可求解函数的最值（3）由题意可得g（1+x）=g（﹣x），g（﹣1+x）=g（﹣x），据此递推关系可推断函数y=g（x）的周期，根据交点周期性出现的规律即可求解满足条件的m，以及g（x）的解析式