题目内容
【题目】已知函数,
,(其中
是自然对数的底数).
(1)若,求函数
在
上的最大值.
(2)若,关于x的方程
有且仅有一个根,求实数k的取值范围.
(3)若对任意的、
,
,不等式
都成立,求实数a的取值范围.
【答案】(1);(2)
;(3)
【解析】
(1)若,则
,利用导数法可得函数
在区间
上单调递减,在区间
上单调递增,结合又
,可得函数
在
上的最大值;
(2)若,关于
的方程
有且仅有一个根,即
有且只有一个根,令
,可得
,进而可得当
时,
有且只有一个根.
(3)设,因为
在
,
单调递增,故原不等式等价于
在
、
,
,且
恒成立,当
恒成立时,
;当
恒成立时,
,综合讨论结果,可得实数
的取值范围.
解:(1)若,则
,
,
时,
,
时,
,
函数
在区间
上单调递减,在区间
上单调递增,
又,
故函数的最大值为.
(2)由题意得:有且只有一个根,
令,则
故在
上单调递减,
上单调递增,
上单调递减,
所以,
因为在
单调递减,且函数值恒为正,又当
时,
,
所以当或
时,
有且只有一个根.
即
(3)设,因为
在
,
单调递增,
故原不等式等价于在
、
,
,且
恒成立,
所以在
、
,
,且
恒成立,
即,在
、
,且
恒成立,
则函数和
都在
单调递增,
则有,在
,
恒成立,
当恒成立时,因为
在
单调递减,
所以的最大值为
,所以
;
当恒成立时,因为
在
单调递减,在
单调递增,
所以的最小值为
,所以
,
综上:.
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