题目内容
【题目】如图,在直角梯形中,
//
,
⊥
,
⊥
, 点
是
边的中点, 将△
沿
折起,使平面
⊥平面
,连接
,
,
, 得到如图所示的几何体.
(Ⅰ)求证: ⊥平面
;
(Ⅱ)若,
,求二面角
的大小.
【答案】(I)详见解析;(II).
【解析】试题分析:(Ⅰ) 由平面⊥平面
,得到
⊥平面
,进而证得
⊥
,
利用线面垂直的判定定理,即可证得结论;
(Ⅱ)建立空间直角坐标系,由(Ⅰ)知平面
的法向量
,求得平面
的法向量
,利用空间向量的夹角公式,即可求解二面角的大小.
试题解析: (Ⅰ) 因为平面⊥平面
,平面
平面
,
又⊥
,所以
⊥平面
因为平面
,所以
⊥
又⊥
,
∩
,所以
⊥平面
.
(Ⅱ) ,
.
依题意△~△
,
所以,即
.
如图所示,建立空间直角坐标系,则
,
,
,
,
,
,
.
由(Ⅰ)知平面的法向量
.
设平面的法向量
由得
令,得
,所以
.
所以.
由图可知二面角的平面角为锐角,
所以二面角的大小为
.
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