Question

7．若x$＞\frac{1}{2}$，则f（x）=$\frac{12}{x}$+ax的最小值为a≤0或者a≥48时，没有最小值；0＜a＜48时最小值为4$\sqrt{3a}$．

Answer 1

分析 对a进行讨论，明确已知函数的单调性，求最小值．

解答 解：当a≤0时，函数f（x）=$\frac{12}{x}$+ax为减函数，x＞$\frac{1}{2}$时没有最小值；
当a≥48时，函数f（x）=$\frac{12}{x}$+ax，在x$＞\frac{1}{2}$时f'（x）=-$\frac{12}{{x}^{2}}+a$＞0，所以f（x）在x＞$\frac{1}{2}$时是增函数，f（x）＞f（$\frac{1}{2}$），没有最小值；
当0＜a＜48时，x$＞\frac{1}{2}$，时f（x）=$\frac{12}{x}$+ax$≥2\sqrt{12a}$=4$\sqrt{3a}$，当且仅当$\frac{12}{x}=ax$即x=$\frac{12}{a}$时等号成立；
故答案为：a≤0或者a≥48时，没有最小值；0＜a＜48时最小值为4$\sqrt{3a}$．

点评 本题考查了讨论的数学思想以及利用基本不等式求函数的最小值．