题目内容
【题目】类似于平面直角坐标系,我们可以定义平面斜坐标系:设数轴的交点为
,与
轴正方向同向的单位向量分别是
,且
与
的夹角为
,其中
。由平面向量基本定理,对于平面内的向量
,存在唯一有序实数对
,使得
,把
叫做点
在斜坐标系
中的坐标,也叫做向量
在斜坐标系
中的坐标。在平面斜坐标系内,直线的方向向量、法向量、点方向式方程、一般式方程等概念与平面直角坐标系内相应概念以相同方式定义,如
时,方程
表示斜坐标系内一条过点(2,1),且方向向量为(4,-5)的直线。
(1)若,
,且
与
的夹角为锐角,求实数m的取值范围;
(2)若,已知点
和直线
①求l的一个法向量;②求点A到直线l的距离。
【答案】(1)(2)
.
【解析】
(1)根据条件,,根据
夹角为锐角,得出
>0,从而得出
同向时,可得到存在t,使得
,从而求出m=12,这样即可得出实数m的取值范围;
(2)①先把直线l的方程写成,从而得出直线l的方向向量为
,可设法向量为
,可由
即可得到5a+7b=0,从而可取a=﹣7,b=5,从而得出l的一个法向量为
;
②可取直线l上一点B(0,2),从而得到,从而得出点A到直线l的距离为
.
(1)由已知,且
=2m+6+(12+m)(
)=
,得
;
若和
同向,则存在正数t,使得
,
由和
不平行得,
得m=12,
故所求为;
(2)①方程可变形为,方向向量为
,
设法向量为,由
得
,
令;
②取直线上一点B(0,2),则
,所求为
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