题目内容
已知曲线f（x）=2x-
+1上一点P处的切线与x+3y-2=0垂直，求过P的切线方程．
| 1 | x |
分析：根据x+3y-2=0的斜率，算出切线的斜率等于3，结合导数的几何意义可得切点P的横坐标为±1．再利用直线方程的点斜式分情况讨论，即可得到所求过P的切线方程．
解答：解：设点P（x0，y0）
∵切线与直线x+3y-2=0垂直
∴切线的斜率为k=
=3
由此可得：曲线在点P处的导数y'=2+
=3，解之得x0=±1．
①当x0=1时，代入函数表达式得y0=f（1）=2，
∴切点P的坐标为（1，2），
利用点斜式方程，得到切线方程为y-2=3（x-1），化简得y=3x-1
②当x0=-1时，类似①的方法可得所求切线方程为y=3x+3
综上所述，可得所求过P的切线方程．为y=3x-1或y=3x+3．
∵切线与直线x+3y-2=0垂直
∴切线的斜率为k=
| -1 | ||
-
|
由此可得：曲线在点P处的导数y'=2+
| 1 |
| x02 |
①当x0=1时，代入函数表达式得y0=f（1）=2，
∴切点P的坐标为（1，2），
利用点斜式方程，得到切线方程为y-2=3（x-1），化简得y=3x-1
②当x0=-1时，类似①的方法可得所求切线方程为y=3x+3
综上所述，可得所求过P的切线方程．为y=3x-1或y=3x+3．
点评：本题给出函数图象的一条切线与已知直线垂直，求切线的方程，着重考查了导数的几何意义与直线方程的几种形式等知识，属于中档题．
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