Question

已知曲线f（x）=xcosx在点（

π

2

，0）处的切线与直线x-ay+1=0互相垂直，则实数a=

π

2

．

Answer 1

分析：由f（x）=xcosx，知f′（x）=cosx-xsinx，故曲线f（x）=xcosx在点（

π

2

，0）处的切线的斜率k=f′(

π

2

)=-

π

2

，再由曲线f（x）=xcosx在点（

π

2

，0）处的切线与直线x-ay+1=0互相垂直，能求出实数a．

解答：解：∵f（x）=xcosx，
∴f′（x）=cosx-xsinx，
∴曲线f（x）=xcosx在点（

π

2

，0）处的切线的斜率k=f′(

π

2

)=cos

π

2

-

π

2

sin

π

2

=-

π

2

，
∵曲线f（x）=xcosx在点（

π

2

，0）处的切线与直线x-ay+1=0互相垂直，
∴-

π

2

×

1

a

=-1，
∴a=

π

2

．
故答案为：

π

2

．

点评：本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意直线互相垂直的关系的灵活运用．