Question

已知曲线f（x）=xⁿ⁺¹（n∈N^*）与直线x=1交于点P，若设曲线y=f（x）在点P处的切线与x轴交点的横坐标为x_n，则lgx₁+lgx₂+…+lgx₉的值为（　　）

A．-1

B．1

C．-2

D．2

Answer 1

分析：先求出函数的导数，由导数的几何意义求切线的斜率k，代入点斜式方程求出过（1，1）的切线方程，在切线方程中令y=0，可得x_n，然后根据对数的运算法则计算即可得到结论．

解答：解：由题意得f′（x）=（n+1）xⁿ，
设过（1，1）的切线斜率k，则k=f′（1）=n+1，
∴切线方程为y-1=（n+1）（x-1）
令y=0，可得x=1-

1

n+1

=

n

n+1

，
即x_n=

n

n+1

，
∴lgx₁+lgx₂+…+lgx₉=lg（x₁x₂…x₉）
=lg（

1

2

×

2

3

×…×

9

10

）
=lg

1

10

=-1，
故选A．

点评：本题考查导数的几何意义及过某一定点的切线方程，对数的运算法则，关键是正确求出导数和运用对数的运算法则．