Question

15．已知函数f（x）=x²-2mx+3．
（Ⅰ）当m=1时，求函数f（x）在区间[-2，2]上的最大值和最小值；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间[1，+∞）上的值恒为正数，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）将m=1代入函数的解析式，得到函数的对称轴，从而求出函数的最大值和最小值；
（2）先求出函数的对称轴，通过讨论对称轴的范围结合函数的单调性，从而求出m的范围．

解答 解：（Ⅰ）当m=1时，f（x）=x²-2x+3．
函数f（x）的对称轴是x=1．（2分）
所以在x∈[-2，2]上，当x=时，有最小值f（1）=2；（4分）
当x=-2时，有最大值f（-2）=11．（6分）
（Ⅱ）由已知，函数f（x）的对称轴是x=m．（7分）
①当m≥1时，函数f（x）的最小值为f（m）=3-m²，
若函数f（x）在区间[1，+∞）上的值恒为正数，则3-m²＞0，（9分）
解得$-\sqrt{3}＜m＜\sqrt{3}$，所以$1≤m＜\sqrt{3}$；（10分）
②当m＜1时，函数f（x）的最小值为f（1）=4-2m，
若函数f（x）在区间[1，+∞）上的值恒为正数，则4-2m＞0，（12分）
解得m＜2，所以m＜1．
综上所述，实数m的取值范围是$（-∞，\sqrt{3}）$．（13分）

点评 本题考查了二次函数的性质，考查函数的单调性问题，考查分类讨论，是一道中档题．